Latihan Contoh Kasus Linear Programming

Soal no 1

1.      Suatu perusahaan akan memproduksi 2 jenis produk yaitu lemari dan kursi. Untuk memproduksi 2 produk tersebut di butuhkan 2 kegiatan yaitu proses perakitan dan pengecatan. Perusahaan menyediakan waktu 56 jam untuk proses perakitan dan 60 jam untuk proses pengecatan. Untuk produksi 1 unit lemari diperlukan waktu 8 jam perakitan dan 5 jam pengecatan. Untuk produksi 1 unit kursi diperlukan 7 jam perakitan dan 12 jam pengecatan. Jika masing masing produk adalan Rp. 200 ribu untuk lemari dan 100 ribu untuk kursi. Tentukan solusi optimal agar mendapatkan untuk masimal.

 Penyelesaian :

Produk	Perakitan	Pengecetan	biaya
Lemari (x)	8	5	200
Kursi (y)	7	12	100
Jumlah	56	60

 

Fungsi tujuan
Z = 200x + 100y

Fungsi kendala :
     8x + 7y   <  56
    5x + 12y   < 60

Untuk persamaan I
Jika x = 0 ; 8x + 7y  = 56                                               Jika y = 0 ; 8x + 7y    =  56
                 8(0)+ 7y  = 56                                                                   8x + 7(0) = 56

                           7y = 56                                                                     8x           = 56

                             y= 56/7                                                                     x          =  56/8

                             y= 8                                                                          x          =  7
koordinat  { ( 0,8) }                                                                   koordinat  { ( 7,0) }

Untuk persamaan II
Jikax = 0 : 5x + 12y = 60                                            Jika y = 0 ; 5x + 12y = 60
                 5(0) +12y = 60                                                           5x + 12(0) = 60
                           12y = 60                                                           5x              = 60
                               y = 60 / 12                                                      x              = 60/5
                               y = 5                                                               x              = 12

koordinat  { ( 0,5) }                                                                  koordinat  { ( 12,0) }

Maka di gambarkan grafik sebagai berikut :

8x + 7y   = 56     *  5     40x + 35y = 280

5x + 12y = 60     * 8      40x + 96y = 480

0        + -61y  =  -200

          -61y  =  -200

               y  =  200/61

                y  =  3,27                                        

                                    5x + 12y  = 60 

                                         5x  + 12(3,27) = 60

                                               5x +  39,2 =  60-39,2

                                               5x                   =  20,8

                                                    x                   = 20,8/5

                                                x                  = 4,16

maka didapat B (4,16 , 3,27)

A (0,8)                                                                                            

Z = 200x + 100y                        
Z = 200 (0) + 100(8)                  

Z =     0      +  800                     

Z = 800                                     

B (4,16 , 3,27)                             

Z = 200x + 100y                         

Z = 200 (4,16) + 100 (3,27)      

Z = 828 + 327

Z = 1155                                   

                           

C ( 12,0 )  

Z = 200x + 100y  

Z = 200 (12) + 100 (0)

Z =  2400 +  0

Z = 2400                                                                                     

Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai optimum ada pada titik C (12,0)
Senilai 2400

2.)   Perusahaaan barang tembikar colonial memproduksi 2 produk setiap hari, yaitu cangkir dan mangkok. Perusahaan itu mempunyai2 sumber daya terbatas jumlahnya untuk memproduksi  produk-produk tersebut yaitu tanah liat (120 kg/hari), tenaga kerja (40 jam/hari). Dengan keterbatasan sumber daya, perusahaan ingin mengetahui berapa banyak mangkok dan cangkir yang akan diproduksi tiap hari dalam rangka memaksimumkan laba. Kedua produk mempunyai kebutuhan sumber daya untuk produksi serta laba per item seperti ditunjukkan pada table.

Penyelesaian :

Produk	Tenaga Kerja (jam/unit)	Tanah Liat (kg/unit)	Laba (Rp/unit)
Mangkok	1	3	4000
Cangkir	2	2	5000
Jumlah	40	120

Fungsi kendala :
     x + 2y <= 40
    3x + 2y <= 120

Fungsi tujuan
Z = 4000x + 5000y

Untuk persamaan I
Jika x = 0 ; x + 2y =  40               
                 0 + 2y   =  40                                   
                 y           =  20                                           

koordinat  { ( 0,20) }

Jika y = 0 ; x + 2y    =  40
                   x + 2(0)  =  40
                   x             =  40  
koordinat{(40,0)}                                                                          

Untuk persamaan II
Jikax = 0 : 3x + 2y = 120                                           
                 3(0) + 2y = 120                                                          
                 2y = 120                                                                              
                 y = 60                                                                                  
koordinat  { ( 0,60) }    

 Jika y = 0 ; 3x + 2y = 120
 3x + 2(0) = 120  
 3x = 120   
   x =  40                                                        
koordinat  { ( 40,0) }  
                                                               

Maka di gambarkan grafik sebagai berikut :

                      

 

                                        Gambar Grafik

Untuk Perpotongan garis
  x + 2y = 40
3x + 2y =120
-2x       = -80

         x      = 80/2
     x     = 40

          
    x + 2y =40
40x + 2y = 40
            2y = 40 – 40
            2y = 0
              y = 0

    ·         ( 40,0 )

A ( 0,20 )
Z = 4000x + 5000y
Z  = 4000(0) + 5000(20)
Z = 0 + 100000
Z  = 100000

 B ( 40, 0 )
Z = 4000x + 5000y
Z  = 4000(40) + 5000(0)\
Z  = 160000 + 0
Z  = 160000

Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai optimum ada pada titik B ( 40,0 ) senilai 160000